國一下三段歷屆作業｜錯題類題練習

第 1 題 平方差

利用 (a−b)(a+b)=a²−b²。四個基準值都接近 4,410,000：

(A) 49(300²−1)=4,410,000−49=4,409,951；(B) 4,409,964；(C) 4,409,984；(D) 4,409,991。最小是 A。

第 2 題 除法原理

由題目已知 被除式 = 除式 × 商式 + 餘式，所以除以 x+4 的商式是 3x−2，餘式是 5。選項 D 把商式寫成 3x+2，因此錯誤。

第 3 題 中位數

全班總分 30×46=1380。前 14 位總分 14×28=392，後 14 位總分 14×62=868。

中間第 15、16 位總分為 1380−392−868=120，原中位數為 120÷2=60。

調整後中位數：60a+10=91，所以 a=81/60=27/20。答案 C。

第 4 題 完全平方

(1) 第一個括號：509²−1018×499+499²=(509−499)²=10²。

第二個括號：720²+720×560+280²=(720+280)²=1000²=10⁶。相乘為 10⁸，所以 n=8。

(2) 161=156+5，且 156+2×5=166=2×83，所以原式可整理成 156²+2×156×83+83²=(156+83)²=239²。因此 a=239。

第 5 題 反求除式

用除法原理：−6x²+x+10 = A(−3x+2)+8。

所以 A(−3x+2)=−6x²+x+2，而 −6x²+x+2=(2x+1)(−3x+2)，故 A=2x+1。

第 6 題 多項式除法

先展開：−2(2x+1)²+6x−4=−8x²−2x−6。

除以 2x−1 得商式 −4x−3，餘式 −9。商式加餘式：−4x−3−9=−4x−12。

第 7 題 直方圖缺值

已知的組別人數合計：2+5+4+5+3=19。全班 28 人，所以兩個未知組別合計 28−19=9。

設 80～90 分為 y 人，則 50～60 分為 y+3 人。y+(y+3)=9，得 y=3，所以 50～60 分為 6 人。

未滿 60 分：2+5+6=13 人。

第 8 題 線對稱角度

由兩個線對稱可得 ∠BED=∠DEF=∠FEC。因為 B、E、C 共線，三角相加為 180°，所以每一個都是 60°。

在 △CEF 中，∠C=65°，∠CEF=60°，所以 ∠CFE=55°。由 EF 為對稱軸，∠CFD=110°，因此 ∠AFD=70°。

在 △DEF 中，∠EDF=180°−60°−55°=65°。由 DE 為對稱軸，∠BDF=130°，因此 ∠ADF=50°。

最後在 △ADF 中：∠A=180°−70°−50°=60°。

第 9 題 中點

設 C 的位置為 0，因 M 在 C 左邊且 CM=3，所以 M=-3。

設 A 的位置為 a、B 的位置為 b。因 AB=60，所以 b-a=60。D、E 分別為 AC、BC 中點，M 又是 DE 中點，所以 M=(a+b)/4=-3，得到 a+b=-12。

聯立 b-a=60 與 a+b=-12，得 a=-36，所以 AM=-3-(-36)=33。

第 10 題 次數分配

全班 40 人，已知人數合計為 4+6+6+5+2=23，所以 x+y=17。

40 人的中位數看第 20、21 個。60 分以下累積為 4+6+x=10+x，60～70 分以下累積為 16+x。

中位數在 60～70 分這組，需 10+x<20 且 16+x≥21，所以 5≤x<10。又 x>y 且 x+y=17，可得 x=9, y=8。

折線圖的點為：(35,4),(45,6),(55,9),(65,6),(75,8),(85,5),(95,2)。平均數用組中點估計：(35×4+45×6+55×9+65×6+75×8+85×5+95×2)÷40=2510÷40=62.75 分。

第 11 題 長方形面積

設長方形長為 a、寬為 b。周長 22，故 a+b=11。

四個正方形面積為 2a²+2b²=130，所以 a²+b²=65。

(a+b)²=a²+2ab+b²，因此 121=65+2ab，得 ab=28。

第 12 題 代數化簡

令 A=1+12，B=13+14+…+111，C=112。

原式為 (B+C)(A+B)−(A+B+C)B。展開後 AB+B²+AC+BC−AB−B²−BC=AC。

所以原式 =(1+12)×112=32×112=18。

第 13 題 統計三量

16 位的中位數看第 8、9 個。要讓第 8、9 個都是 36 歲，36 歲前面要有 7 人，所以 3+a=7，得 a=4。

總人數：3+4+2+b+1+c=16，所以 b+c=6。眾數是 48 歲，且 70 歲至少 1 人，因此 b=5, c=1。

平均年齡為 (14×3+25×4+36×2+48×5+60×1+70×1)÷16=584÷16=36.5，小於 38。錯誤的是 B。

第 14 題 平方差連乘

因為 (7−1)(7+1)(7²+1)(7⁴+1)=7⁸−1，題目少乘了 7−1=6。

所以 (7+1)(7²+1)(7⁴+1)=(7⁸−1)/6，故 k=6。

第 15 題 兩點一線

七點任取兩點共有 C(7,2)=21 種。

但直徑上的三點共線，三點本來會被算成 C(3,2)=3 條，實際上只有 1 條，所以要多扣 3−1=2 條。

因此可決定 21−2=19 條直線。

第 16 題 倍數除式

由題意：A=B(6x−4)+(2x+3)。

因為 B(6x−4)=2B(3x−2)，所以用 2B 去除時，商式為 3x−2。

第 17 題 倒數式

令 X=a+1/b=5，Y=b+1/a。

XY=(a+1/b)(b+1/a)=ab+1+1+1/(ab)=ab+1/(ab)+2=18+2=20。

所以 5Y=20，得 Y=4。

第 18 題 餘式定理

把 x=2 代入多項式，等於除以 x−2 的餘式。題目已給餘式為 11，所以原式直接等於 11。

第 19 題 大數運算

2024²−8×2024=(2024−4)²−16=2020²−16。

而 2032×2008=(2020+12)(2020−12)=2020²−144，再加 128 得 2020²−16。

所以 a=2008。

第 20 題 平均數人數

設原來有 n 人，原平均為 m 歲。

加入 74 歲後平均增加 2：(nm+74)/(n+1)=m+2，整理得 m=72−2n。

跑掉 10 歲後平均增加 1：(nm−10)/(n−1)=m+1，整理得 m=n+9。

聯立：72−2n=n+9，所以 3n=63，n=21。

第 21 題 平均數

承第 20 題，m=n+9，且 n=21，所以 m=21+9=30 歲。

第 22 題 次方和計數

設取到 −2 的次數為 p，取到 1 的次數為 q。取到 0 的項不影響平方和、立方和與四次方和。

平方和：4p+q=95；立方和：−8p+q=−145。

兩式相減得 12p=240，所以 p=20；代回 4p+q=95，得 q=15。

四次方和為 16p+q=16×20+15=335。

第 23 題 同類項

同類項的字母與指數要相同，所以先比較指數。

第一組：2a+b−4=a+3b−3，整理得 a=2b+1。

第二組：3a−b−2=a+4b−2，整理得 2a=5b。

代入 a=2b+1：2(2b+1)=5b，得 b=2，所以 a=5。因此 3a+2b=3×5+2×2=19。

第 24 題 單項式相加

兩個單項式相加後仍是單項式，表示它們是同類項，且結果的指數也相同。

比較 x 的指數：b=m−1=n，所以 m=n+1，且 b=n。

比較 y 的指數：c=2n−3=m。由 m=n+1 與 m=2n−3，得 n=4，所以 m=5，b=4，c=5。

係數相加：0.3−0.1=0.2=0.5a，所以 a=0.4。故 abc=0.4×4×5=8。

第 25 題 末兩位判斷

要求十位數字與個位數字，只需要看整個算式除以 100 的餘數。

777713² 的末兩位看 13²=169，末兩位是 69；666606² 看 6²=36；555509² 看 9²=81。

末兩位合計：69+36+81=186，所以整個值的末兩位是 86。十位數字 8、個位數字 6，和為 8+6=14。

第 26 題 連續平方

先把 178²+178 改寫成靠近 179² 的形式：

178²+178 = 179²−179。

原式變成 179²−179+358+180 = 179²+359。

又 180²−179²=(180+179)(180−179)=359，所以原式等於 180²，故 x=180，選 C。

第 27 題 完全平方化簡

因為 303=128+175，所以分母可寫成 128²+(128+175)²。

展開分母：128²+(128+175)²=2×128²+2×128×175+175²。

分子 6×128²+6×128×175+3×175² 正好是分母的 3 倍，所以整個分式等於 3。

第 28 題 分割正方形

由圖可知，甲、戊、壬分別是 a², b², c²，所以 a²+b²+c²=50。

乙、庚、辛分別是 ab, ac, bc，所以 ab+ac+bc=47。

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=50+2×47=144。

因為邊長為正，所以 a+b+c=12。